Электронная библиотека Веда
Цели библиотеки
Скачать бесплатно
Доставка литературы
Доставка диссертаций
Размещение литературы
Контактные данные
Я ищу:
Библиотечный каталог российских и украинских диссертаций

Вы находитесь:
Диссертационные работы России
Технические науки
Системный анализ, управление и обработка информации

Диссертационная работа:

Ляшенко Елена Александровна. Управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 05.13.01 Томск, 2005 130 с. РГБ ОД, 61:05-1/1313

смотреть содержание
смотреть введение
Содержание к работе:

Введение 4

1 Линейно-квадратичное управление системами со случай
ными параметрами и мультипликативными шумами
16

  1. Синтез статического регулятора 16

  2. Синтез динамического регулятора 24

  3. Выводы 37

2 Управление с прогнозированием системами со случайны
ми параметрами и мультипликативными шумами
38

  1. Методология прогнозирующего управления 38

  2. Прогнозирующее управление с замкнутой обратной связью 39

  3. Прогнозирующее управление разомкнутого типа 43

  4. Выводы 50

3 Управление инвестиционным портфелем на финансовом
рынке со стохастической волатильЕіостью
51

  1. Модель инвестиционного портфеля со стохастической во-латилы-гостью 52

  2. Синтез стратегий управления инвестиционным портфелем 54

  3. Активное управление 60

  4. Численное моделирование 64

  5. Управление инвестиционным портфелем в условиях стохастической волатильности, линейно зависящей от случайных параметров 72

3.5.1 Многомерная модель цен финансовых активов со

стохастической волатилы-юстью, линейно зависящей

от случайных параметров . 72

  1. Синтез стратегий управления инвестиционным портфелем 73

  2. Активное управление 76

3.5.4 Численное моделирование .....' 79

3.6 Выводы 83

4 Применение метода управления с прогнозированием к
оптимизации инвестиционного портфеля: учет трансак-
ционных издержек и ограничений на объемы торговых
операций 85

  1. Динамическая модель инвестиционного портфеля с учетом трансакциониых издержек и ограничений на объемы торговых операций 86

  2. Управление инвестиционным портфелем 90

  3. Активное управление .-..,.. 93

  4. Численное моделирование 95

  5. Моделирование с использованием реальных данных .... 101

  6. Выводы 112

Заключение 113

Библиография 114

Введение к работе:

Широкий класс реальных систем, параметры которых точно неизвестны и меняются случайным образом, описывается линейными моделями со случайными параметрами. Примерами могут служить сложные производственно-технологические системы, склонные с отказам, энергетические и технические системы (ядерный реактор; летательный аппарат; система наведения на объект, уклоняющийся от встречи), экономические процессы (управление инвестиционным портфелем (ИП)). Проблема синтеза регуляторов для таких систем рассматривалась во многих работах, что обусловлено ее теоретической и практической важностью. Задаче управления линейными системами со случайными параметрами в непрерывном времени посвящены работы [4, 27, 28, 30, 32, 39, 43, 44, 72, 78, 100, 108, 113, 133]. Системы со случайными параметрами в дискретном времени рассматриваются в [22, 26, 27, 32, 37, 38, 63, 66, 71, 79, 128, 134].

Управление по критерию чувствительному к риску для систем со случайными параметрами, принимающими конечное множество значений в соответствии с эволюцией дискретной марковской цепи рассматривалось в [128].

В [71] авторы с помощью метода динамического программирования получили оптимальное управление с обратной связью по состоянию для полностью наблюдаемой линейной системы со случайными параметрами, принимающими конечное множество значений в соответствии с эволюцией дискретной марковской цепи с известной матрицей переходных вероятностей. В [79] рассматриваются полностью наблюдаемые линейные системы со случайными параметрами, принимающими конечное множество значений в соответствии с эволюцией дискретной марковском цепи с

ВВЕДЕНИЕ

неизвестными переходными вероятностями. Для решения задачи построения линейного регулятора для таких систем на бесконечном горизонте предложен итерационный метод, основанный на имитационном моделировании методом Монте-Карло.

Системам с мультипликативными шумами и случайными параметрами посвящены работы [32, 38, 44; 100, 113], в которых предполагается, что случайные параметры принимают конечное множество значений в соответствии с эволюцией марковской цепи.

В [44] рассматривается алгоритм синтеза систем слежения по интегральному квадратичному критерию для непрерывных объектов с мультипликативными возмущениями и случайными параметрами, описываемыми цепью Маркова с конечным числом состояний. Предполагается, что в канале наблюдения отсутствуют случайные параметры и шумы. С использованием принципа динамического программирования получено оптимальное управление в виде обратной связи по вектору измеряемого выхода. Полученный закон управления является линейным относительно выхода системы и зависит от текущего состояния цепи.

В [38] решается задача оптимальной стабилизации линейной дискретной системы с аддитивными и мультипликативными шумами и случайной структурой, меняющейся в соответствии с эволюцией стационарной марковской цепи с известной стохастической"'матрицей. Предполагается, что вектор состояния доступен наблюдению. С использованием метода динамического программирования показано, что оптимальное управление с обратной связью по состоянию является линейным, причем матричный коэффициент усиления зависит от текущего состояния марковской цепи.

В [113] исследуется задача линейно-квадратичного управления на бесконечном горизонте для линейной стохастической системы со случайной структурой и мультипликативными шумами в непрерывном времени. Параметры системы принимают конечное множество значений в соответствии с эволюцией марковской цепи с известными постоянными переходными вероятностями. В работе рассматривается случай полной информации о векторе состояния системы. Оптимальное управление получается путем усреднения оптимальных управлений при всевозможных со-

ВВЕДЕНИЕ

стояниях марковской цепи на текущем шаге. Для получения оптимального управления авторы используют подход, основанный на линейных матричных неравенствах.

В [32] рассматриваются системы с мультипликативными шумами и случайными параметрами, описываемыми цепью Маркова с конечным числом состояний, как в дискретном, так и в непрерывном времени. Решены задача линейно-квадратичного управления в случае, когда вектор состояния системы доступен наблюдению, и задача построения динамического регулятора в случае, когда канал наблюдений также имеет случайную структуру, меняющуюся в соответствии с эволюцией марковской цепи.

Необходимо отметить^ что в работах [32, 38, 44] оптимальное управление зависит от текущего состояния марковской цепи, которое на практике часто недоступно наблюдению, следовательно необходимы дополнительные алгоритмы для оценивания состояния марковской цепи.

В работах [1, 29, 34 - 36, 45, 64, 65, 80, 118, 123, 124, 137, 138] рассматривается управление системами с мультипликативными шумами и неслучайными известными параметрами. Для получения оптимального управления используются метод динамического программирования, матричный принцип минимума, метод множителей Лагранжа, теоретико-игровой подход.

В вышеупомянутых работах рассматриваются задачи управления без учета явных ограничений на переменные управления и состояния системы. Однако на практике к системам часто предъявляются требования связанные как с непосредственными издержками, такими как энергетические затраты, так и с экологическими нормами и требованиями безопасности. Такие требования обычно носят форму ограничений, предъявляемых к системе. Различают два вида ограничений: на переменные управления (максимальная скорость потока в гидравлических системах определяется диаметром трубы, клапаны имеют ограниченный диапазон регулировки, затраты энергии ограничены мощностью установки) и на выход системы (требования к качеству производимой продукции, экологические нормы, требования безопасности). Известно, что применение традиционных подходов к синтезу управления с обратной связью при

ВВЕДЕНИЕ

ограничениях, например, с использованием метода динамического программирования, приводит к проблеме, названной Беллманом "проклятие размерности" [3], которая в конечном итоге не позволяет решить поставленную задачу численно. В связи с этим были разработаны различные подходы к учету ограничений в динамических моделях, такие как добавление в критерий качества штрафов за невыполнение ограничений [54], схема "anti-windup" [62, 96], учитывающая эффект насыщения системы.

Одним из эффективных подходов к синтезу систем управления при ограничениях, получившим широкое признание и применение в практике управления сложными технологическими процессами, является метод управления с прогнозирующей моделью (управление с прогнозированием)^, 50, 57-61, 81, 103, 106, 109, 116, 125, 126, 129]. Преимуществом этого метода является возможность достаточно просто учитывать явные ограничения на переменные состояния и управления, при этом получается стратегия управления с обратной связью. При учете ограничений синтез стратегий управления с прогнозированием обычно сводится (в зависимости от выбора критерия) к решению задач линейного [42, 57] или квадратичного [129] программирования, для решения которых существуют эффективные методы [8].

Проблеме управления динамическими системами с использованием метода управления с прогнозированием посвящены многие работы, обзор которых приведен в [125]. В большинстве работ рассматриваются детерминированные системы [57 - 59, 61, 106, 126, 129]. В [126, 129] синтезируется управление стационарными полностью наблюдаемыми системами. В [129] линейные ограничения накладываются только на переменные управления. В [126] наложены ограничения общего вида как на переменные управления, так и на состояние системы. В [57 - 59, 61] рассматривается задача управления стационарными неполностью наблюдаемыми системами при ограничениях на управляющие воздействия и выход системы. В [106] -управление нестационарными неполностью наблюдаемыми системами при линейных ограничениях на переменные управления и выход системы. В работах [59, 61, 106, 126, 129] синтез стратегий управления с прогнозированием сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования, а в работах [57, 58] - линейного

ВВЕДЕНИЕ

программирования.

Управление с прогнозированием для стохастических систем рассматривается в [49, 50, 60, 81, 103, 109, 116]. Управление неполностью наблюдаемыми системами, возмущенными аддитивными шумами, представлено в [49, 50]. Предполагается, что амплитуды шумов ограничены, а ограничения на вектор управления и состояния системы должны выполняться для любых значений шумов. Решается задача управления по минимаксному критерию (максимум ищется по всевозможным значениям шумов, а минимум по допустимым управлениям). В каждый момент времени для нахождения оптимального управления решается задача квадратичного программирования. В [103] решается задача управления для систем с аддитивными белыми гауссовскими шумами и неизвестными параметрами. Предполагается, что параметры принадлежат ограниченному множеству. Также как и в [81, 109] проводится минимизация квадратичного критерия, в котором переменные состояния системы заменены на их прогнозы. Синтез стратегий управления сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования. Проведенный анализ литературы позволяет сделать вывод о том, что в настоящее время отсутствуют работы, посвященные задачам управления с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами.

Важной областью приложений теории управления системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений, является финансовая инженерия, где подобные модели используются для описания эволюции ИП [6, 12, 13, 17, 18, 20, 55, 77, 89, 90, 122, 127, 139]. Проблема управления ИП является одной из основных в управлении финансами и представляет как теоретический, так и практический интерес [46]. Можно выделить два основных подхода к ее решению. Классический подход, предложенный в [117, 135], и последующие его модификации [92, 95, 117, 135, 140], исходят из предполо-жени5і о том, что при формировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля (обычно дисперсию портфеля или связанные с ней меры риска), с другой стороны - получать желаемую доходность (либо в двойственной постановке - максимизиро-

ВВЕДЕНИЕ

вать доходность при ограниченном риске). При этом задача оптимизации структуры портфеля (определения оптимальных долей вложений в различные виды активов) решается в статической постановке.

Второй подход основан на построении динамических моделей ИП и использовании для выбора оптимальной структуры портфеля методов теории стохастического управления [5 - 7, 10, 23 - 25, 46, 51, 56, 66-70, 74, 75, 77, 87, 88, 98, 101, 102, 105, 110, 112, 114, 119, 120, 127, 132]. Классическая оптимизационная проблема в динамической постановке заключается в определении стратегии управления ИП, максимизирующей некоторую интегральную функцию полезности, зависящую от уровня текущего потребления и конечного богатства. За исключением весьма ограниченного набора функций полезности, для которых решение можно получить аналитически [119], такой подход приводит к трудной проблеме численного решения уравнений динамического программирования Беллмана [110]. В работах [5, 6, 10, 23, 24, 88] задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения за капиталом некоторого гипотетического эталонного портфеля, имеющего задаваемую инвестором желаемую доходность. В работах [7, 25, 51, 56, 74, 87] рассматривается так называемая задача активного управления [46, 74], целью которой является превышение в среднем капитала некоторого индексного (базового) портфеля. Достаточно полный обзор методов оптимизации ИП в динамической постановке с использованием различных критериев, дан в [127].

В большинстве работ по управлению ИП,предполагается, что транс-акционные издержки несущественны, также в них не учитываются ограничения на доли вложений в отдельные виды финансовых активов. Это приводит к субоптималыюму управлению, но позволяет использовать более простые алгоритмы при синтезе управляющих воздействий. Модели, учитывающие трансакционныс издержки и ограничения на доли вложений в финансовые активы, более точно описывают ситуацию, сложившуюся на реальных финансовых рынках, но процедуры поиска оптимальных управлений в этом случае значительно усложняются. Обзор работ, учитывающих трансакционные издержки для моделей ИП в непрерывном времени дан в [75]. В этих работах применяются методы классической теории стохастического управления, оптимальной останов-

ВВЕДЕНИЕ

ки, стохастического импульсного управления и др. В большинстве работ задача решается только для случая, когда ИП включает в себя один рисковый актив. При учете траксакционных издержек и ограничений на объемы инвестиций и торговых операций оптимизация ИП, содержащего несколько рисковых активов, приводит к сложным' алгоритмам управления в непрерывном времени.

Б рамках проблемы оптимального управления ИП возникает вопрос о выборе адекватной модели динамики цен рисковых активов. В большинстве работ по управлению ИП в качестве модели эволюции цен рисковых активов принята классическая модель геометрического (экономического) броуновского движения Блэка-Шоулса [119] с детерминированной вола-тильностыо (изменчивостью) [5, 56, 67, 75, 76, 88, 91, 114, 115, 119, 127, 132] или ее дискретизованный вариант [5, 10, 76]. Исследования временных рядов динамики доходностей финансовых активов показывают, что во многих случаях более адекватными являются модели цен с меняющейся (случайной) волатильыостью [47, 48, 73, 82, 93, '99, 107, 130, 131, 136]. Такие модели можно разбить на два класса [130]. Первый - это модели, управляемые данными - в этом случае волатилы-юсть зависит от прошлых значений временного ряда. К такому классу относятся авторегрессионные модели типа ARCH и ее обобщения, такие как GARCH, t-GARCH, log-GARCH, EGARCH, IGARCH, FIARCH и др. [48,107, 130]. Второй класс составляют модели, управляемые параметрами, в которых волатильность зависит от некоторых ненаблюдаемых компонент (латентной структуры). Представителями этого класса являются так называемые SV-модели (модели стохастической волатильности, stochastic volatility models), которые достаточно хорошо отражают эффекты "самовозбуждения" волатильности (volatility clustering), наблюдаемые на реальных финансовых рынках [48, 107, 130, 131]. Заметим, что исследование модели ИП в условиях стохастической волатильности цен рисковых финансовых активов приводит к необходимости рассмотрения систем с мультипликативными шумами и случайными параметрами.

Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность построения оптимального управления для систем со случайными параметрами и мультипликативными шумами и примене-

ВВЕДЕНИЕ

ниє результатов для управления ИП. Это, в свою очередь, обуславливает актуальность настоящей диссертационной работы, целью котором является:

  1. синтез регуляторов для систем со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений;

  2. синтез стратегий управления с прогнозированием с обратной связью для систем со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при явных ограничениях на управляющие переменные;

  3. синтез стратегий управления ИП в условиях стохастической вола-тильности доходностей рисковых финансовых активов;

  4. синтез стратегий управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

Методы исследования

При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории автоматического управления (метод динамического программирования, матричный принцип максимума), методология управления с прогнозированием, численные методы (метод квадратичного программирования) и методы имитационного моделирования.

Основные результаты, полученные в данной работе и выносимые на защиту, следующие.

1) Уравнения синтеза линейных оптимальных по квадратичному критерию статического и динамического регуляторов по выходу для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений.

ВВЕДЕНИЕ

  1. Метод определения стратегий управления с прогнозированием с обратной связью для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при ограничениях на управляющие переменные.

  2. Уравнения синтеза стратегий управления ИП в условиях стохастической волатильности доходиостей рисковых финансовых активов.

  3. Динамические модели управления ИП в условиях стохастической волатильности, с учетом трансакциониых издержек, ограничений на объемы торговых операций и различия ставок безрискового вклада и кредитования.

  4. Метод синтеза стратегий управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакциониых издержек и ограничений на объемы торговых операций.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и результатами численных расчетов. В вырожденном случае (когда параметры системы не случайны) получаются известные формулы для систем с аддитивными и мультипликативными шумами.

Теоретическая и практическая ценность

Решена задача синтеза статического и динамического регуляторов по выходу для систем с аддитивными и мультипликативными шумами и со случайными параметрами, для которых известны только первые два момента распределения. Разработан метод синтеза оптимальных стратегий управления для таких систем с учетом явных ограничений на управляющие воздействия. Построены модели и предложен метод управления ИП в условиях стохастической волатильности с учетом трансакциониых издержек и ограничений на объемы торговых операций.

ВВЕДЕНИЕ

Практическая ценность данной работы состоит в возможности применения полученных результатов при решении задач оптимального управления широким классом объектов, динамика которых описывается системами со случайными параметрами и шумами, зависящими от состояния и управления, такими как, летательные аппараты, химические процессы; ИП в условиях стохастической волатильности.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета (акт о внедрении прилагается).

Структура и объем работы

Настоящая диссертационная работа состоит из введения, основного текста, заключения и списка литературы. Основной текст разбит на 4 главы и содержит 48 рисунков. Список литературы включает 141 наименование. Общий объем работы - 130 страниц.

Содержание работы

В первой главе диссертации рассматриваются системы со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений. Получены уравнения линейных оптимальных по квадратичному критерию статического и динамического регуляторов по выходу для таких систем. Преимуществом предложенного подхода является то, что не требуется знания вида распределения случайных параметров - для расчета регуляторов достаточно знать лишь первые два момента вектора случайных параметров.

Во второй главе рассматривается применение методологии управления с прогнозированием к системам со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений. Получены уравнения синтеза стратегий управления с прогнозированием с замкнутой обратной связью я разомкнутого типа. Данный подход позволяет учесть в явном виде ограничения на управления, при этом получается стратегия управления с обратной связью.

Третья глава посвящена проблеме управления ЙП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов.

ВВЕДЕНИЕ

Предложено две модели ИП со стохастической волати лы-гостью,

описываемой базовой SV-моделыо,

линейно зависящей от случайных параметров, для которых известны только первые два момента распределения.

Для обеих моделей задача оптимального управления ИП решена в двух постановках:

- слежение за эталонным (гипотетическим) портфелем с желаемой
доходностью, задаваемой инвестором,

превышение капитала индексного портфеля, отражающего состояние рынка (активное управление).

При доказательстве теорем используются результаты, полученные в главе 1, Численные расчеты подтверждают полученные теоретические результаты.

Предмет заключительной четвертой главы диссертации - учет транс-акциогшых издержек и ограничений на объемы торговых операций при управлении ИП в условиях стохастической волатильности доходиостей рисковых финансовых активов.

Разработана модель ИП, учитывающая трансакциоыные издержки, ограничения на объемы торговых операций и различие ставок безрискового вклада и кредитования.

Синтезированы оптимальные стратегии управления с прогнозированием ИП, учитывающие транс акцию иные издержки и ограничения на объемы торговых операций. При доказательстве теорем используются результаты, полученные в главе 2.

Приводятся результаты численного моделирования и моделирования с использованием реальных данных, подтверждающие работоспособность и эффективность предложенного подхода.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Всероссийской научно-практической конференции

ВВЕДЕНИЕ

"Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство" (Анжеро-Судженск, 2001), Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2002), I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2002), Второй международной конференции "Проблемы актуарной и финансовой математики" (Минск, Беларусь, 2002), IV Всероссийской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" (Томск, 2002), Ежегодной конференции "SICE Annual Conference 2003" (Фукуи, Япония, 2003), Международной конференции "Математическое-моделирование социальной и экономической динамики" (Москва, 2004), 8-ом Корейско-Российском международном симпозиуме по науке и технологии (Томск, 2004), III Всероссийской конференции "Финансов о-акту арная математик , и смежные вопросы" (Красноярск, 2004), Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2004).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ [12 - 21, 84 -86, 89, 90].

Подобные работы
Мищенко Вячеслав Владимирович
Оптимизация структуры портфеля вложений в ценные бумаги
Склярова Татьяна Петровна
Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс]
Олейников Антон Владимирович
Управление системой профилактики на транспорте
Скворцов Андрей Борисович
Имитационное моделирование и технология экспертных систем в управлении сложными телекоммуникационными системами
Куклин Владимир Жанович
Системный анализ, моделирование и управление в системе высшего профессионального образования
Сидоров Дмитрий Александрович
Стабилизация аффинных систем ограниченным управлением
Сочнев Алексей Николаевич
Оперативное управление производственными системами на основе сетей Петри
Соколов Илья Александрович
Управление в системах избирательного распределения информации на базе ресурсов сети Интернет
Галяев Андрей Алексеевич
Управление механической системой в фазе удара
Гулевич Ольга Юрьевна
Моделирование и управление эффективностью системы технического обслуживания при интенсификации добычи нефти в условиях ТПП "Урайнефтегаз"

© Научная электронная библиотека «Веда», 2003-2013.
info@lib.ua-ru.net