Электронная библиотека Веда
Цели библиотеки
Скачать бесплатно
Доставка литературы
Доставка диссертаций
Размещение литературы
Контактные данные
Я ищу:
Библиотечный каталог российских и украинских диссертаций

Вы находитесь:
Диссертационные работы России
Технические науки
Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертационная работа:

Буланов Сергей Георгиевич. Разработка и исследование методов программного моделирования устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений на основе матричных мультипликативных преобразований разностных схем : дис. ... канд. техн. наук : 05.13.18 Таганрог, 2006 235 с. РГБ ОД, 61:07-5/286

смотреть содержание
смотреть введение
Содержание к работе:

Введение 5

Глава 1. Матричные мультипликативные критерии устойчивости на основе

разностных приближений решений-систем линейных ОДУ с переменными-

коэффициентами 40

  1. Матричные мультипликативные критерии устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Эйлера 41

  2. Матричные мультипликативные критерии устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Эйлера-Коши 47

  3. Матричные мультипликативные критерии устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Рунге-Кутта 54

1.4. Программная иллюстрация работы матричных мультипликативных
критериев устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Эйлера 60

1.5. Выводы 64

Глава 2. Зависимость мультипликативных критериев устойчивости от по
грешности разностных схем численного интегрирования 65

  1. Мультипликативные критерии устойчивости в случае одного уравнения 67

  2. Мультипликативные критерии устойчивости с конечным числом сомножителей 70

  3. Зависимость мультипликативных и матричных критериев устойчивости от замены точного решения на разностное приближение по Эйлеру 72

  4. Влияние на приближение возмущений систем линейных ОДУ порядка разностных схем 74

  5. Оценка накопления погрешности метода Эйлера в условиях устойчивости 76

  6. Программное моделирование погрешности метода Эйлера в условиях устойчивости 84

  7. Выводы 87

Глава 3. Программное моделирование матричных мультипликативных кри-

териев устойчивости систем линейных ОДУ и численный эксперимент 89

  1. Программная модель матричных мультипликативных критериев устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Эйлера 90

  2. Численный эксперимент по моделированию устойчивости-систем-линейных ОДУ с помощью матричных мультипликативных критериев на основе метода Эйлера 98

  3. Программная модель матричных мультипликативных критериев устойчивости систем линейных ОДУ на основе разностных схем Эйлера - Коши и Рунге - Кутта 105

  4. Численный эксперимент по моделированию устойчивости с помощью матричных мультипликативных критериев на основе методов Эйлера - Коши и Рунге - Кутта 111

  5. Исследование качества работы программной модели при меняющихся значениях числовых параметров 119

  6. Совмещение компьютерного моделирования устойчивости систем линейных ОДУ с приближённым решением и моделированием погрешности 128

  7. Матричные мультипликативные критерии устойчивости для систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов 133

  8. Выводы 139

Заключение 141

Литература 144

Приложения 155

Приложение 1 155

Приложение 2 177

Приложение 3 Решение технической задачи. Анализ устойчивости син
хронного генератора, работающего на сеть большой мощности 186

  1. Описание модели и параметров синхронного генератора 186

  2. Программный анализ устойчивости модели синхронного генератора 200

3.3. Оценки времени программного анализа устойчивости линейных систем

большой размерности с постоянной матрицей коэффициентов 203

3.4. Оптимизационная схема моделирования устойчивости системы линей
ных ОДУ для-случая вариации параметров .-.-.г.- - т.-..-.-....- 205

3.5. Выводы 229

Литература к приложению 230

Приложение 4 232

Введение к работе:

Актуальность проблемы. Исследование устойчивости по Ляпунову
(ниже устойчивости) - предмет качественной теории дифференциальных
-уравнений.

Трудоемкий анализ с учетом математических особенностей конкретной системы необходимо выполнять в механике, физике, теории автоматического регулирования, теории сложных систем, в других областях теоретических и прикладных исследований.

Устойчивость движения твёрдого тела, спутников и гироскопических систем рассматривалась Н.Г. Четаевым [1, 2], В.В. Румянцевым [3, 4] и другими [5-7]. Вопросы смены устойчивости, бифуркации систем твердых тел исследовались в работах П.А. Кузьмина [8], А.Ю. Ишлинского [9], В.Ф. Журавлёва [10]. Устойчивость вихревых дорожек в жидкости, равновесия гибкой нити изучались Г.В. Каменковым [11], П.А. Кузьменым [12]. Устойчивость твёрдых тел с жидким наполнением рассматривались Н.Г. Четаевым [13], Ф.Л. Черноусько [14]. Устойчивость движения тел переменной массы М.Ш. Аминовым [15], А.С. Галиуллиным [16]. Устойчивость тел и гироскопических систем с упругими элементами В.Н. Рубановским [17], В.В. Румянцевым [18], устойчивость орбитальных систем с упругими конструкциями -М.К. Набиуллиным [19]. Неустойчивость равновесия консервативных систем исследовалась A.M. Ляпуновым [20], Н.Г. Четаевым [13].

Методы качественной теории устойчивости в применении к теории катастроф, теории бифуркаций и теории особенностей развиты В.И. Арнольдом [21-23].

Методы качественной теории устойчивости в контексте синергетиче-ского подхода представлены в работах А.А. Колесникова [24-26], применительно к анализу и синтезу систем автоматического управления - в работах А.Р. Гайдука [27-30].

Развитие направления работ Н.Г. Четаева в области теории устойчивости и её применений в механике представлено в работах В.М. Матросова [31,

32].

Анализ устойчивости механических систем и их приложений в небес
ной механике и космодинамике представлен работами А.П. Маркеева, Г.В.
Горра, А.А. Илюхина [33-35]. -

В общем случае математические модели поведения динамических систем самого различного вида - от моделей движения механических объектов и функционирования механических, гидромеханических, электромеханических устройств до моделей развития экономики в целом и её частей - сводится к системе дифференциальных уравнений вида

— = F(Y,t,a,u), (1)

где Y, и - векторы фазовых переменных и управляющих воздействий; а -

набор параметров, определяющих структуру и внутренние характеристики

рассматриваемой системы [36].

Для этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (далее ОДУ) в нормальной форме могут ставиться и решаться различные задачи: исследование множества возможных решений; оценка вторичных показателей - функционалов от этих решений и их оптимизация; влияние на эти показания отдельных параметров; оптимальное управление решениями, в первую очередь - оптимальное быстродействие;

Одной из наиболее важных задач является обеспечение устойчивости решения - близость возмущённого решения к исходному при малых возмущениях начальных данных.

Одним из основных подходов к решению задачи устойчивости является первый метод Ляпунова, который заключается в переходе от системы уравнений (1) к линеаризованной системе

— = A(t)Y + b (2)

в каком-то смысле близким к исходной, и исследованию устойчивости решения системы (2).

7 Первый метод Ляпунова распространён на задачи нелинейной теории

колебаний и аналитической теории дифференциальных уравнений, получил широкое применение в задачах механики, физики и техники [37]. Вместе с классическими методами- Аг Пуанкаре в небесной механике первый метод Ляпунова развит в фундаментальных трудах Н.Н. Боголюбова, Н.М. Крылова [38, 39], И.Г. Малкина, Ю.А. Митропольского [40, 41], Б.Ф. Былова, Р.Э. Винограда, Д.М. Гробмана, В.В. Немыцкого [42], Н.П. Еругина [43] и других [44-47].

Мощным инструментом анализа устойчивости решения непосредственно системы (1) является метод функций (второй метод) Ляпунова [48-51]. Функции Ляпунова используются в решении задач стабилизации и аналитического конструирования оптимальных регуляторов [52-54]; в задачах стабилизации для систем с запаздыванием [55], оптимального демпфирования переходных процессов [56], синтеза адаптивного управления [57], слабой инвариантности динамических систем и синтеза стратегий терминального управления [58]. Кроме этого второй метод Ляпунова используется при исследовании устойчивости химических процессов, устойчивости упругих летательных аппаратов, процессов в авиационных двигателях, в жидкости, в газе, в плазме [59, 60], процессов горения в жидкостных ракетных двигателях [61], процессов движения жидкости при постоянно действующих возмущениях [62], маг-нитно-гидро-динамических процессов [63].

Основные понятия и методы анализа устойчивости решения систем ОДУ можно характеризовать следующим образом.

1. Основные понятия теории устойчивости

1.1. Устойчивость в смысле Ляпунова. Рассмотрим нормальную систему ОДУ

cly

-^- = /,(^,,--00 j = h-,n, (3)

где t - независимое переменное (время); ух,...,уп - искомые функции; /у -функция, определённая в некотором полуцилиндре:

z=i;xDy, i; = {-<»:

Dy - открытая область действительного n - мерного пространства. В матрично-векторном обозначении система (3) примет вид

(4)

где 7 =

У\

clY dt

*У\

СІУ„ dt

, F(t,Y) =

f^(t,y„...,yn) /я(*>Уі>->У,,)

Предполагается, что вектор-функция F(t,Y) непрерывна в области Z по независимой переменной t и имеет непрерывные частные производные первого порядка по зависимым переменным yv...,yn.

Действительная вектор-функция Y = 7(0 непрерывная и непрерывно дифференцируемая, определённая в некотором интервале (а,6)с/(+ и удовлетворяющая при aсистеме (4) называется её решением.

В этих условиях справедлива теорема Копій [64-67]: для каждой системы значений (t0,Y0)eZ существует единственное решение системы (4):

Y = Y(t) (t0~A0+B; А>0,В>0), определённое в некотором интервале (t0-A, t0+B)a(-oo,+) и удовлетворяющее начальному условию: Y(t0) = Y0, т.е. однозначно разрешима соответствующая задача Коши.

Иначе говоря, в области z = /,+ х R" существует единственная интегральная кривая Y = Y(t) системы (4), проходящая через точку M0(t0, 70).

Решение (p = (p{t){a) системы (4) называется устойчивым по Ляпунову [20] при t -> +00, если для любых є > О и t0 є (а, со) существует 5 = 5{s, t0) > 0 такое, что

1) все решения Y = Y(t) системы (4) удовлетворяющие условию

\\Y(t0)-0)\\

9 определены в промежутке t0 < t < оо .

2) для этих решений справедливо неравенство

\Y(t)-(p(t)\при t0

Если число 8 > 0 можно выбрать не зависящим от начального момента t0 є Т, т.е. 8 = 8(є), то устойчивость называется равномерной в области Г.

Решение cp = q>{i) (aсистемы (4) называется неустойчивым по Ляпунову, если для некоторых є > О, t0e(a,) и любого 8 > О существует решение Ys{t) и момент ґ, =t](8)>t0 такие, что

||Wo)-P('o)||< И ||^0,)-<^i)||^-

Решение cp = системы (4) называется асимптотически устойчивым при t -> со если:

  1. это решение устойчиво по Ляпунову.

  2. для любого t0 є (а, от) существует А = А(ґ0) > 0 такое, что все решения

7 = 7(0 (tQ і

i-k

ІЛ/|^ЕП(ИІ+о(Іі4(/'-')І+Іі4(/'-'+А)І)<(ІІІ^(^)І)))х

k=\ =0 2

x Цбг-лгі-і І + Цбг-л:/ |

С учётом ограничения 2) и неравенства (1.32) последнее неравенство примет вид:

її ' '"* rh rh

л* ^ЕП(1+т+т(1+сА))сза3+сза3

4=1 1 = 0

R,

335](1 + — (2 + ch)y-k+i = c3/z3(l + — (2 + с/г))
<-=i 2 f=0 2

Суммируя геометрическую прогрессию, получим

(1 + ^(2 + ^))^-1

\Ri \\3h

ch 1 + —(2 + cA)-l

Отсюда, с учётом (1.6), вытекает неравенство

и її 2с h1 ch 'м~'

\\rA< 3 ((1 + -(2 + сй)) * -1).
11 '" с(2 + с/г) 2

Тем более справедлива оценка

Д.-

-(2+С/0(',+,-'.) ,

22 -1)А ,

2с,

где с, =

с(2 + с/г)

При любом выборе t = tM, t = const, / є [/0, со), и при переменном і имеет место соотношение

Ul+ch )(/-/„)

с, (с2

1)й2 -»0

при h -» 0.

Из двух последних соотношений следует, что, во первых,

R,=0(h2),

во вторых,

НтЯ. =0.

/;->0

Лемма доказана. Справедлива [109, 110]

Теорема 1.2. В условиях леммы 1.2 решение задачи (1.1) устойчиво тогда и только тогда, когда

limfliE + ^Ait^ + Ait^+^iE + hAit^))))

і—>СО f_Q Z

2 = const (1-35)

для \/t е [tQ, оо). Решение асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда выполнено (1.35) и, кроме того, выполняется соотношение

limY[(E + ^(A(tht)+A(ti_c+h)(E + hA(ti_())))

^0

(1.36)

При Ґ-»со.

Доказательство. При любом выборе t = const, te[tQ,oo), и задании

й = —- будет получаться t = tM. Предельный переход в равенстве (1.33) при

i + 1

таком t влечет равенство

/і->0

7(0-7(/) = 1ітП(^ + -(^(^) + ^(^+^)(^ + ^(^))))(П->;) + Нті?і..

А->0

Стремление А к нулю равносильно стремлению /' к бесконечности. Отсюда, с учётом (1.34), для любого te[t0,oo) выполнено:

Y(t)-Y(t) = limfl(E + ^(A(ti_[) + A(ti_(+h)(E + hA(ti_c))))(Y0-Y0). (1.37)

( = 0 L

Из (1.37) с очевидностью следует утверждение теоремы. Соотношение (1.37) можно переписать в виде

Y(t)-Y(t) = Y[(E + -(A(ti) + A(ti+h)(E + hA(ti))))(Y0-Y0),

54 соответственно, соотношения (1.35), (1.36) примут вид:

П(2? + -04(',) + Л(',+й)(Д + АЛ(',))))

с2 = const для V/ є [t0, со)

П(+^(Л(О+Л(',+/0( + АЛ(О)))

1 = 0 ^

-> 0 ПрИ t -» со ,

где /, /, А связаны соотношением (1.6).

Таким образом, получены критерии устойчивости и асимптотической устойчивости (1.35), (1.36) на основе метода Эйлера-Коши. Значение данных критериев заключается в том, что они также как и критерии (1.19), (1.20) создают предпосылки компьютерного анализа устойчивости, асимптотической устойчивости либо неустойчивости решений систем линейных ОДУ. При этом анализ устойчивости, проводимый на основе критериев (1.35), (1.36), должен обеспечивать более высокую достоверность в силу улучшения оценки погрешности (1.32) по сравнению с оценкой (1.14), данной для метода Эйлера.

Подобные работы
Катрич Сергей Анатольевич
Разработка и исследование схем программного моделирования устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основе разностных методов
Хачумов Максим Александрович
Разработка и исследование методов моделирования Интернет портала
Дехканбаев Дмитрий Саттаркулович
Исследование методов моделирования и разработка программного обеспечения для изучения фрактальных свойств системы N тел
Давудпур Марьям
Разработка и исследование декомпозиционного метода моделирования дискретных структур
Резников Владимир Борисович
Разработка и исследование метода построения программного комплекса моделирования для распределенных систем с многоуровневым представлением сложных объектов
Заика Ирина Викторовна
Разработка и исследование схем оптимизации на основе алгоритмов сортировки с приложением к идентификации экстремумов решений дифференциальных уравнений
Ляпунов Сергей Владимирович
Разработка и исследование численных схем высокого порядка точности для решения уравнений газовой динамики на неструктурированных сетках
Авдеенко Татьяна Владимировна
Разработка методов исследования структурной идентифицируемости моделей в пространстве состояний
Утешева Тамара Шатовна
Исследование методов, разработка алгоритмического и программного обеспечения пространственного анализа графической информации
Кузнецова Юлия Геннадьевна
Разработка методов исследования функционально-технологических свойств пищевых рецептурных смесей на основе теории нечетких множеств

© Научная электронная библиотека «Веда», 2003-2013.
info@lib.ua-ru.net