Электронная библиотека Веда
Цели библиотеки
Скачать бесплатно
Доставка литературы
Доставка диссертаций
Размещение литературы
Контактные данные
Я ищу:
Библиотечный каталог российских и украинских диссертаций

Вы находитесь:
Диссертационные работы России
Технические науки
Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертационная работа:

Тимошенко Дмитрий Владимирович. Построение и анализ математических моделей деформации упругих стержней с приложением к определению условий замкнутости молекул ДНК : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 05.13.18 / Тимошенко Дмитрий Владимирович; [Место защиты: Юж. федер. ун-т].- Таганрог, 2008.- 155 с.: ил. РГБ ОД, 61 09-1/383

смотреть содержание
смотреть введение
Содержание к работе:

Введение 4

1. Геометрические исследования деформации стержня двоякой
кривизны с приложением к изучению пространственных конфигураций
молекул ДНК
17

  1. Основные соотношения 17

  2. Уравнения оси стержня 25

  3. Геометрическое представление упругой линии 29

  4. Вспомогательные утверждения 30

  5. Исследование условий замкнутости первичной структуры молекулы ДНК 36

  1. Случай прямолинейного свободного состояния 51

  2. Выводы 54

2. Математическая модель деформации естественно закрученного
стержня с равными жёсткостями на изгиб
56

  1. Первые интегралы уравнений Кирхгофа — Джанелидзе 58

  2. Построение аналога решения Лагранжа для естественно закрученного стержня 62

  3. Анализ обобщённых зависимостей 65

  4. Условия замкнутости сверхспирализованной молекулы ДНК для обобщённого решения Лагранжа 66

  5. Выводы 69

3. Построение и анализ основных соотношений теории упругих
стержней с моментным взаимодействием частиц
70

3.1. Исходные соотношения несимметричной теории

упругости 73

3.2. Построение асимптотической модели 75

3.

3.3. Анализ соотношений нулевого приближения и редукция трёхмерной

задачи к одномерной 75

  1. Исследование общих соотношений одномерной теории стержней 82

  2. Аналитическая форма условий замкнутости оси молекулы ДНК и оценка влияния параметров моментных взаимодействий 85

3.6. Выводы 86

4. Программной поиск нулей полинома без ограничений на вид

коэффициентов и его приложение к определению условий
замкнутости молекулы ДНК
88

  1. Описание метода и комплекса программ вычисления нулей полинома произвольной степени с коэффициентами общего вида .>. 88

  2. Адаптация метода поиска нулей полинома на основе сортировки к математическим моделям деформации упругих стержней 110

  3. Исследование зависимости вида замкнутых конфигураций стержня от значений параметров математических моделей 121

  1. Случай винтовой линии .''. 122

  2. Случай прямолинейного исходного состояния стержня 130

  3. Случай естественно закрученного стержня 135

4.4. Выводы 144

Заключение 145

Литература 147

Введение к работе:

Актуальность темы. Построение математических моделей деформации упругих стержней представляет интерес с точки зрения теории упругости, а так же для описания с помощью этих моделей поведения реальных физических объектов, близких по своим свойствам к упругим стержням. К таким объектам относятся ряд деталей механизмов и машин, элементы инженерных сооружений и конструкций (например, космические тросовые системы). Высокие требования к точности расчёта рабочих характеристик упругих элементов конструкций ставят перед необходимостью совершенствования математических моделей, описывающих поведение упругих элементов конструкций, модификации известных и созданию новых методов качественного и количественного анализа этого поведения.

Кроме того, в последние годы в работах ряда отечественных и зарубежных учёных было предложено применение механической модели упругого стержня к исследованию биологических макромолекул, и, прежде всего, молекул дезоксирибонуклеиновой кислоты – ДНК. Суть такого подхода заключается в представлении молекулы ДНК в качестве одномерного континуального объекта – упругого стержня – и исследовании изменения конфигураций молекулы в ходе ее существования как деформаций упругого стержня различными видами внешних нагрузок. К основоположникам этого направления относятся отечественные учёные М.Д. Франк-Каменецкий и А.И. Китайгородский, а также американцы К. Бенхем и Д. Хёрст, независимо друг от друга в начале 80-х годов прошлого века обосновавшие применимость стержневой модели при определении механических параметров молекулы ДНК и её возможных пространственных конфигураций. Дальнейшее развитие это направление получило в трудах ряда отечественных и зарубежных специалистов, среди которых отметим работы У. Олсона и Дж. Уайта (США), Дж. Мэддокса (Швейцария), Ватади и Тсуру (Япония), Н.Н. Козлова, Т. М. Энеева (ИПМ им. М.В. Келдыша), Е.И. Кугушева и Е.Л. Старостина (МГУ).

Во всех перечисленных направлениях при изучении деформации гибкого стержня одной из основных задач является определение возможных форм, которые может принимать стержень в результате деформации, а также установление механических параметров стержня и характеристик воздействия, позволяющих получить требуемую конфигурацию стержня. Одним из типов конфигураций стержня, представляющим значительный интерес и сравнительно мало изученным, являются замкнутые конфигурации. Определение условий замкнутости стержневых объектов находит своё применение в задачах проектирования систем пассивной гравитационной стабилизации ИСЗ вследствие того, что условия, при которых возможно образование замкнутых конфигураций, являются предельным случаем для допустимых воздействий на такие системы. Знание условий, обеспечивающих образование замкнутых конфигураций, поможет подобрать оптимальные механические характеристики стержневых элементов при проектировании подобных систем и избежать необратимого негативного влияния агрессивной космической среды. С другой стороны, благодаря известной кинетической аналогии Кирхгофа, условия образования стержнями замкнутых конфигураций в аналитической динамике будут соответствовать условиям существования периодических движений твёрдого тела, имеющего неподвижную точку. Такие движения представляют наибольший интерес.

С точки зрения применения теории стержней в исследованиях пространственных конфигураций молекулы ДНК, отметим, что результаты экспериментов показывают зависимость многих физиологически важных регуляторных механизмов в процессе жизнедеятельности клетки от замкнутости третичной структуры молекулы ДНК.

Из сказанного вытекает необходимость исследования условий замкнутости упругих стержней и их систем, а также выявление факторов, влияющих на их пространственную конфигурацию в целом.

Цель диссертационной работы состоит в построении и исследовании математических моделей деформации упругих стержней, обобщающих модель Кирхгофа, путём последовательного изменения предположений о характере взаимосвязей между механическими параметрами стержня и последующем применении построенных моделей к изучению пространственных конфигураций молекулы ДНК и, главным образом, – к нахождению условий, обеспечивающих образование замкнутых конфигураций ДНК.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

  1. Разработать математическую модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающую связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня, обобщающие соотношения Кирхгофа.

  2. Построить математическую модель деформации стержня, учитывающую вращательные взаимодействия микрочастиц вещества, из которого выполнен стержень.

  3. В рамках математической модели деформации криволинейного стержня, основанной на теории Кирхгофа с помощью универсального геометрического метода исследования конфигурации деформированного стержня доказать существование замкнутых конфигураций стержневых объектов и получить аналитические условия замкнутости в общем виде.

  4. Проинтегрировать систему уравнений Эйлера – Кирхгофа при предположениях, принимаемых для построенных в работе математических моделей. Исследовать механические эффекты, описываемые новыми решениями. Использовать построенные математические модели в задаче определения условий замкнутости молекул ДНК.

  5. Разработать и программно реализовать алгоритмы численного определения значений параметров математических моделей, обеспечивающих замкнутость стержневого объекта с помощью найденных решений системы уравнений Эйлера – Кирхгофа, и провести численный эксперимент на их основе.

Методы исследования опираются на теоретическую механику, дифференциальную геометрию, теорию упругости и численный анализ.

Достоверность результатов вытекает из их математического обоснования, подтверждается доказательными утверждениями и леммами, иллюстрируется экспериментальными данными, свидетельствующими о применимости построенных в работе математических моделей к исследованным объектам.

Научная новизна заключается в следующем:

  1. Предложена математическая модель деформации естественно закрученного и растяжимого стержня, в которой уравнения состояния обобщают соотношения Кирхгофа. Последнее отличает предложенную модель от аналогов в области исследования конфигураций естественно закрученных стержней и позволяет объяснить ряд экспериментально наблюдаемых механических эффектов, возникающих при их деформации. В частности, при исследовании конформаций молекул ДНК в рамках модели деформации естественно закрученного стержня, выявлены ограничения на способность молекулы ДНК к сверхспирализации.

  2. Построена математическая модель деформации стержня на основе несимметричной теории упругости. Модель отличается от известных тем, что учитывает моментные напряжения внутри материала стержня, возникающие в результате вращательного взаимодействия образующих материал микрочастиц. Это позволяет оценить интегральное влияние интенсивности моментных напряжений в материале стержня на его геометрию. Последнее оказывается существенным при изучении конфигурации молекулы ДНК, для которой вращательные взаимодействия компонент весьма значительны.

  3. В рамках математической модели деформации криволинейного стержня, основанной на теории Кирхгофа, с помощью общего геометрического метода исследования конфигурации деформированного стержня доказано существование, и получены аналитические условия замкнутости стержневых объектов. Данные условия отличаются от известных аналогов инвариантным характером относительно математической модели и дают численные значения параметров решений системы уравнений деформации, при которых конфигурация стержня является замкнутой. Это позволяет определять допустимые для осуществления замкнутости механические параметры стержня и характеристики внешних воздействий.

  4. Получены два точных решения системы уравнений Эйлера – Кирхгофа в случае равных жёсткостей стержня на изгиб. Найденные решения позволили в рамках единого математического аппарата оценить влияние новых механических факторов, учитываемых при построении каждой математической модели, на характер условий замкнутости и вид замкнутых конфигураций. Теоретические результаты, полученные при анализе построенных моделей интерпретированы в задаче определения условий замкнутости молекулы ДНК. Это позволило объяснить ряд экспериментально наблюдаемых в поведении молекулы явлений.

  5. Разработаны и программно реализованы алгоритмы численного определения значений механических параметров упругого стержня и параметров внешних воздействий, при которых стержень в результате деформации образовывает замкнутые конфигурации. Предложенные алгоритмы отличаются инвариантностью относительно вида решения системы уравнений Эйлера – Кирхгофа, а также математической модели деформации стержня и позволяют определять значения конструктивных параметров с заданной точностью.

Основные положения, выносимые на защиту:

  1. Математическая модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающая связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня, обобщающие соотношения Кирхгофа.

  2. Математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц, образующих его вещество.

  3. Точные решения системы уравнений Эйлера – Кирхгофа, полученные в рамках построенных математических моделей деформации стержня.

  4. Условия существования замкнутых конфигураций стержневых объектов.

  5. Алгоритмы численного определения механических параметров замкнутых конфигураций стержневых объектов, учитывающие математическую специфику предложенных моделей.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере разработанных математических моделей и возможности интерпретации результатов моделирования одновременно в нескольких областях.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы: в ГОУВПО «Таганрогский государственный педагогический институт» на физико-математическом факультете в процессе преподавания курсов «Уравнения математической физики», «Дополнительные главы математического анализа», «Избранные вопросы теоретической физики». Внедрение результатов работы подтверждено соответствующими актами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: IV региональной конференции «Молодёжь XXI века – будущее российской науки» (Ростов-на-Дону, РГУ, 2005 г.); VII всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006г.); Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2006 г.); XIV международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2007 г.); международной конференции «Классические задачи динамики твёрдого тела» (Донецк, Украина, 2007 г.); международной научно-технической конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2007 г.); III, IV всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2007, 2008 гг.); международной конференции «Проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007 г.); международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела» (Донецк, Украина, 2008 г.).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ, из них три в изданиях, входящих в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденный ВАК.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного раздела, заключения, списка литературы. Основное содержание работы изложено на 155 страницах, включая список литературы из 102 наименований.

Подобные работы
Сидельников Владимир Иванович
Методология построения и анализа математических моделей систем теплоснабжения
Сахарова Ольга Николаевна
Построение и исследование алгоритмической модели анализа вариабельности сердечного ритма на основе принципов нелинейной динамики
Гудков Андрей Сергеевич
Использование префиксных деревьев при построении систем анализа данных
Эминов Булат Фаридович
Методы и алгоритмы построения и анализа полиномиальных функций над конечным полем на основе стохастических матриц
Кулешов Сергей Викторович
Разработка автоматизированной системы семантического анализа и построения визуальных динамических глоссариев
Саенко Вячеслав Владимирович
Численный анализ моделей аномальной кинетики методом Монте-Карло
Уколов Юрий Алексеевич
Численно-аналитические методы и комплексы программ для анализа моделей классических нелинейных полиномиальных гамильтоновых систем и их квантовых аналогов
Гладков Андрей Валерьевич
Анализ моделей нелинейной диффузии в многокомпонентных системах методами теории групп преобразований
Багдасарян Армен Георгиевич
Разработка и исследование модели анализа проектов крупномасштабных комплексов
Болтенков Степан Анатольевич
Программно-математический комплекс для параметрического анализа моделей вида "реакция+диффузия"

© Научная электронная библиотека «Веда», 2003-2013.
info@lib.ua-ru.net