Электронная библиотека Веда
Цели библиотеки
Скачать бесплатно
Доставка литературы
Доставка диссертаций
Размещение литературы
Контактные данные
Я ищу:
Библиотечный каталог российских и украинских диссертаций

Вы находитесь:
Диссертационные работы России
Технические науки
Теоретические основы информатики

Диссертационная работа:

Закс Юлия Иосифовна. Синхронизируемость конечных автоматов в экстремальном и среднем случаях: автореферат дис. ... кандидата физико-математических наук: 05.13.17 / Закс Юлия Иосифовна;[Место защиты: Южно-Уральский государственный университет].- Челябинск, 2012.- 16 с.

смотреть введение
Введение к работе:

Актуальность темы. Работа посвящена исследованиям в бурно развивающейся области теоретической информатики - теории синхронизируемых конечных детерминированных автоматов. Детерминированным конечным автоматом или просто автоматом называется тройка объектов srf = (Q, Z, 6), где Q - конечное множество состояний, Z - конечный входной алфавит, 6 : Q х Z —» Q всюду определенная функция переходов автомата. Функция переходов естественным образом продолжается до отображения (также обозначаемого через 5) из Q х І* в Q, где через Z*, как обычно, обозначается множество всех слов над алфавитом Z.

Автомат &/ = (Q,Z,6) называется синхронизируемым, если существует слово WE Г, переводящее его в состояние, зависящее только от слова w и не зависящее от того состояния автомата, в котором w было применено. В символах это свойство выражается равенством 6(p,w) = 6(q,w) для всех p,q є Q. Любое слово с таким свойством называется синхронизирующим для автомата &/.

Синхронизируемый автомат - это прозрачная, и в то же время достаточно адекватная математическая модель дискретной управляемой системы, описывающая важную для приложений ситуацию, когда необходимо восстановить контроль над системой, текущее состояние которой неизвестно. Синхронизируемые автоматы нашли широкое применение в различных прикладных областях: в промышленной роботике при проектировании механизмов для ориентации, сортировки и установки деталей на сборочном конвейере [16, 17], в тестировании электронных схем как на физическом уровне, так и на уровне спецификаций и протоколов [10], в тестировании программного обеспечения [7]. Теоретическая мотивация к изучению синхронизируемых автоматов происходит из таких областей математики и информатики, как многозначная логика [15], символическая динамика [4], теория кодирования [6], теория подстановочных систем [11]. Подробнее о различных применениях синхронизируемых автоматов см. недавние обзоры [21, 28].

Теория синхронизируемых автоматов в последние несколько лет привлекает большое внимание ученых: ведутся исследования в научных центрах по всему миру, публикуется большое количество работ по данной тематике, проводятся семинары и конференции. Тем не менее, в этой теории остается значительное количество открытых вопросов. Одним из главных таких вопросов является справедливость так называемой гипотезы Черни, которая остается недоказанной и неопровергнутой уже более 45 лет.

В 1964 году Черни [8] указал серию синхронизируемых п-автоматов с длиной кратчайшего синхронизирующего слова равной (п—1) . Немного позднее он высказал предположение, что автоматы из этой серии реализуют наихудший в смысле скорости синхронизации случай, т. е. что каждый синхронизируемый n-автомат может быть синхронизирован словом длины не более (п — I)2. Это предположение и получило название гипотезы Черни. Несмотря на простоту формулировки и длинную историю попыток доказательства гипотезы, наилучшей верхней оценкой длины кратчайшего синхронизирующего слова произвольного n-автомата является оценка порядка 0(п3). Трахтман [27] в 2011 году показал, что указанная длина

п(7п2+6п-16)
НЄ ПреВОСХОДИТ — 48

Одной из трудностей, с которой сталкиваются специалисты, занимающиеся гипотезой Черни, является дефицит примеров медленно синхронизируемых автоматов, т. е. автоматов с длиной кратчайшего синхронизирующего слова порядка п2 + О(п), где п - число состояний. Более 40 лет единственной известной бесконечной серией с таким свойством была серия, построенная Черни, а кроме нее было известно только несколько отдельных примеров автоматов с числом состояний от 3 до 6, у которых длина кратчайшего синхронизирующего слова была такой же, как у автомата из серии Черни с тем же числом состояний [13, 19, 26]. В условиях, когда число примеров крайне ограничено, трудно было подвергать проверке различные предположения и допущения, возникавшие при поисках подходов к гипотезе Черни. Именно поэтому история исследований в данной области богата «ложными следами» - вспомогательными гипотезами, которые сперва казались перспективными, но по прошествии некоторого времени опровергались. Исходя из сказанного, представляется весьма естественной задача построения новых бесконечных серий медленно синхронизируемых автоматов.

То, что примеры медленно синхронизируемых автоматов оказались столь редкими, приводит к предположению, что типичные, «средние» синхронизируемые автоматы (в частности, автоматы, возникающие в приложениях) синхронизируются значительно быстрее, чем автоматы из серии Черни. Это предположение подтверждается результатами вычислительных экспериментов, которые показывают, что взятый наугад автомат с вероятностью, очень близкой к 1, синхронизируем словом, длина которого значительно меньше числа состояний [14, 22]. Такое поведение длины кратчайшего синхронизирующего слова согласуется с поведением других параметров конечного автомата, связанных с длиной путей в нем: диа-

метра, степени различимости, длины однородного эксперимента. Значение всех этих параметров для почти всех автоматов существенно отличается от оценки сверху (см., например, обзор [1]). Мы будем говорить, что какое-то свойство выполнено для почти всех автоматов, если доля автоматов с п состояниями, для которых оно выполняется, среди всех автоматов п состояниями стремится к 1 при п —> оо. Если свойство выполнено для почти всех автоматов, будем также говорить, что оно выполняется с высокой вероятностью. Изложенные выше обстоятельства делают актуальными задачу исследования синхронизируемости конечных автоматов в среднем случае и задачу оценки наиболее вероятной длины кратчайшего синхронизирующего слова.

Хиггинс (см. монографию [12]) показал, что математическое ожидание дефекта отображения n-элементного множества в себя, выбранного равномерно случайно из множества всех таких отображений, стремится к - при п —> оо. Применив схожие рассуждения, можно получить, что дисперсия этого дефекта стремится к 2 . Отсюда вытекает, что с высокой вероятностью дефект случайного отображения (а значит и дефект буквы в случайном автомате) имеет порядок 0(п). Таким образом, в случайном автомате почти наверняка найдется буква достаточно большого дефекта. Поэтому, в свете задачи изучения синхронизируемости в среднем случае, можно также сформулировать задачу изучения синхронизируемости автоматов с буквой большого дефекта и задачу оценки длины кратчайшего синхронизирующего слова для таких автоматов.

Целью работы является получение новых результатов в рамках каждой из выше сформулированных задач, а именно:

  1. построение бесконечных серий медленно синхронизируемых автоматов;

  2. оценка длины кратчайшего синхронизирующего слова автоматов с буквой большого дефекта;

  3. исследование синхронизируемости случайных автоматов.

Методы исследования. В работе применяются как классические методы исследования из различных областей математики: теории автоматов, теории вероятностей, теории графов и теории случайных процессов, так и некоторые методы, по-видимому, впервые примененные в теории синхронизируемых автоматов. Так, при оценке длины кратчайшего синхронизирующего слова используется теоретико-игровой подход. Граф автомата в рамках данного подхода является полем некоторой игры. Состояния авто-

мата в игре покрыты монетами, которые в процессе игры перемещаются вдоль стрелок автомата. При доказательстве основных результатов работы используются два варианта таких игр. В дальнейшем предложенный метод нашел применение в работах других авторов, например, [2]. При работе со случайными автоматами применяется теорема Вормальда [29], которая позволяет заменить вероятностный анализ комбинаторного алгоритма решением детерминированной системы дифференциальных уравнений и которая ранее применялась только для доказательства результатов, связанных со случайными графами [29] и задачей выполнимости [3].

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории конечных автоматов, теории формальных языков и теории графов.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Семинар по словам и автоматам в составе международного симпозиума "Компьютерные науки в России" WoWA'06 (8 июня 2011 г., г. Санкт-Петербург).

Международная конференция по теории формальных языков DLT'06 (26-29 июня 2006 г., г. Санта-Барбара, США).

Международная конференция "Автоматы: от математики к приложениям" AutoMathA'09 (8-12 июня 2009 г., г. Льеж, Бельгия).

Русско-финский симпозиум по дискретной математике RuFiDiM (21-24 сентября 2011 г., г. Санкт-Петербург).

Ссылки на результаты диссертации присутствуют в работах других авторов: [5, 6, 9, 20, 22-25, 28].

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [30-35]. Совместные работы [32-34] с Е. С. Скворцовым выполнены в нераздельном соавторстве. Совместные работы [30, 31] с Д. С. Ананиче-вым и М. В. Волковым содержат два независимых результата, один из которых получен автором самостоятельно, второй - в нераздельном соавторстве. Работы [30-32] опубликованы в изданиях, включенных ВАК в перечень научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени

доктора и кандидата наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 89 страниц. Библиографический список содержит 72 наименования.


© Научная электронная библиотека «Веда», 2003-2013.
info@lib.ua-ru.net