Электронная библиотека Веда
Цели библиотеки
Скачать бесплатно
Доставка литературы
Доставка диссертаций
Размещение литературы
Контактные данные
Я ищу:
Библиотечный каталог российских и украинских диссертаций

Вы находитесь:
Диссертационные работы России
Технические науки
Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертационная работа:

Антоненко Максим Николаевич. Численное моделирование распространения упругих волн в неоднородной среде : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 05.13.18 : Москва, 2004 135 c. РГБ ОД, 61:04-1/1417

смотреть содержание
смотреть введение
Содержание к работе:

Введение 4

Глава 1. Постановка задачи распространения волн в неоднородной
среде
34

1.1. Постановка задачи в двумерном случае 34

1.1.1 .Аналитическая форма основной системы уравнений 34

1.1.2. Акустический случай (одна скорость распространения волн)

1.1.3 .Упругий случай (две скорости распространения волн) 36

  1. Постановка задачи в упругом трехмерном случае 39

  2. Граничные условия 43

Глава 2. Методика численного решения и программная реализация
модели
44

  1. Гибридная сеточно-характеристическая схема 44

  2. Сравнительные тесты схем ГСХС и McCormack 48

  3. Разностная схема UN03 для уравнения переноса 50

  4. Сравнительные тесты схемы ГСХС и UN03 51

  5. Обобщение схемы ГСХС на одномерную систему уравнений гиперболического типа 52

  6. Обобщение схемы UN03 на одномерную систему уравнений гиперболического типа 54

Глава 3. Тесты модели и результаты расчетов 58

  1. Тесты для модели в акустическом и упругом случаях 58

  2. Применение моделирования для изучения акустических свойств пористого нефтяного коллектора в кристаллическом фундаменте 62

  1. Сведения о структуре и физических свойствах реальных сред-прототипов модели 64

  2. Характеристика моделей зон «диффузной» трещиноватости и условий распространения и регистрации сейсмических колебаний

3.2.3. Обоснование и характеристика базовой модели геометрии среды

3.2.4. Характеристика моделей с различными размерами макрозоны

3.2.5. Характеристика рассчитанных сейсмических волновых полей и
зарегистрированных на поверхности колебаний (прямая задача) 71

3.2.6.Анализ природы модельных волновых полей 78

3.2.7. Сравнение результатов моделирования с реально наблюдаемыми
аномалиями поля рассеянной компоненты 83

Заключение 86

Литература 88

Таблицы 105

Рисунки 112

Введение к работе:

Настоящая работа посвящена исследованию методами
численного моделирования процессов распространения звуковых волн
в сложных гетерогенных средах, а также в случайно-неоднородных
пористых средах. В качестве базовой системы уравнений,
описывающих процесс распространения звуковых волн взято
упрощенное волновое уравнение в приближении малых деформаций
(смещений), хорошо описывающее распространение волн в среде.
Полученная система гиперболических уравнений решается численно с
применением параллельных вычислительных комплексов. В качестве
базы для разработанного в рамках диссертационной работы численного
метода используется сеточно-характеристическое обобщение на
системы линейных уравнений монотонной гибридной схемы
Белоцерковского-Гущина-Коньшина-Щенникова. Реализованы

численные методы на база других известных разностных схем. С помощью программной реализации данной математической модели проведены расчеты тестовых задач в классической постановке (прохождение волн через границу раздела двух различных при различных геометриях задачи и свойствах сред). Проведены серии расчетов по изучению рассеивающих свойств пористых геологических объектов (модель нефтяного коллектора в кристаллическом фундаменте). Предложены критерии идентификации пористых

геологических объектов по характеру отклика на искусственное сейсмическое воздействие.

Основными целями диссертации являются: разработка комплекса программ для численного моделирования распространения звуковых волн в упругой среде в приближении малых деформаций, а также в детальном изучении процессов развития волновой картины в сложных неоднородных средах, в первую очередь пористых, для которых d « X, где d - размер одной инклюзии (поры), а X - длина падающей волны.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, кратко излагается содержание диссертации, указывается ее научная новизна и формулируются основные результаты работы, а также дается обзор литературы. В силу того, что данная работа включает несколько разделов современной науки, логично данный обзор разделить на 4 части. К первой следует отнести работы, посвященные методам численного моделирования, теории построения разностных схем, анализу свойств численных методик. Во второй части будут представлены работы, затрагивающие физику явления распространения звуковых волн в среде, а также работы, описывающие основополагающие уравнения данного явления. Третий раздел посвящен работам в области геофизики, сейсмологии и сейсморазведки. В последний раздел войдут работы по основам работы

на параллельных вычислительных системах, использованию их для пространственного математического моделирования.

Первая глава посвящена математической постановке задачи распространения волн в неоднородной упругой среде. Приводятся системы уравнений в двумерной и трехмерной геометриях в обычной и векторной (матричной) записях. Приводятся также собственные числа и матрицы собственных векторов приведенных системы уравнений, применяемые для перевода системы уравнений в базис собственных векторов и обратно. Варианты граничных условий (отражение/«пропускание») и также приведены в данной главе

Вторая глава посвящена применяемым численным методам, а также программной реализации модели. Методы численного моделирования получили значительное развитие во второй половине двадцатого века не только благодаря развитию вычислительных систем, но и благодаря острой потребности считать задачи аэро- газодинамики и ядерного взрыва. В связи с этим историческим обстоятельством львиная доля всех методов развивается и используется совместно с задачами динамики жидкости и газа, процессов горения и плазмы. Вместе с тем такая историческая «специализация» численных методов вовсе не ограничивает область их применения только вышеупомянутым классом задач. Разработанные методики для решения систем уравнений газовой динамики с успехом могут применяться для решения других задач, процессы в которых описываются системой уравнений в частных производных

гиперболического типа. Характерным примером таких задач является задача распространения звуковых волн в упругой среде.

В работе подробно описывается примененная явная монотонная гибридно-характеристическая схема второго порядка по пространству и времени. Приводятся результаты одномерных тестов данной разностной схемы и сравнение ее с другими разностными схемами. Описано расширение одномерной методики на двумерный и трехмерный векторные случаи.

Построена и запрограммирована модель для решения прямой задачи распространения волн в приближении малых деформаций. В основу одного из алгоритмов положено сеточно-характеристическое обобщение на системы линейных уравнений монотонной гибридной схемы Белоцерковского-Гущина-Коньшина-Щенникова (успешно используемой в Институте автоматизации проектирования РАН для моделирования задач о динамике несжимаемой жидкости). Данная методика характерна тем, что при ее использовании для решения систем уравнений распространения волн в акустическом и эластическом приближениях, получаемое решение не только устойчиво, но и не возникает нефизичных высокочастотных осцилляции решения, что характерно для ряда методик, в том числе, например, для разностной схемы McCormack. Это позволяет решать достаточно жесткие задачи с перепадом свойств среды (плотности, скорости звука) в десятки раз при числе Куранта .практически равном 1. Высокое рабочее число Куранта схемы позволяет вести расчеты с шагом по времени, в полтора раза большим, чем для схемы

McCormack'a (~0.6, реально 0.45). Это обстоятельство способствует существенному повышению скорости расчета.

В этой же главе представлены численные тесты для решения одномерного уравнения переноса. Сделано 2 тестовых расчета по схеме McCormack и 3 расчета по гибридной сеточно-характеристической схеме (ГСХС). Значения ключевых переменных для вышеупомянутых расчетов приведены в соответствующей таблице.

Из результатов тестирования видно, что в случае гладких начальных данных решения, полученные с помощью обоих методов, с высокой степенью точности совпадают с точным решением.

В связи с конечной целью моделирования акустических и эластических волн в неоднородных средах (где имеют место скачки плотности и/или скоростей распространения сигнала), был проведен еще один тест с негладкими начальными данными.

Показано полное отсутствие подобных осцилляции для схемы ГСХС. В то же время наклон решения в районе скачка такой же, как и для схемы McCormack. Это обусловлено вторым порядком точности схемы ГСХС. Отметим, что при С = 1 численное решение совпадет с точным.

Для повышения порядка точности решения создан солвер 3-го порядка точности по пространству с применением методики UN03 (Unconditional Non-Oscillated). Данная методика также обладает свойством не осциллировать при больших градиентах физических параметров. Повышенный порядок точности позволяет получить

большую точность, не прибегая к увеличению числа узлов сетки. Кроме того, методика 3-го порядка позволяет разрешить более высокочастотные составляющие акустического сигнала, чем 2-го при той же плотности узлов. Однако, время вычислений при этом возрастает более, чем в 2,5 раза, по сравнению с ГСХС. Оба солвера реализованы на языках высокого уровня Fortran и С.

Созданы реализации моделей на основе разностных схем ГСХС и UN03 для эластической модели среды. Эластическая модель более полно отражает свойства среды распространять волны, нежели акустическая, что существенно влияет на правдоподобность полученных результатов. Мы применили UN03 к акустической системе уравнений. На рис.4 показаны результаты сравнения точного решения и численного для схем UN03 и ГСХС. В этой одномерной задаче начальное возмущение распадается на две симметричные волны, движущиеся в противоположных направлениях (от источника). На рис.4 показана только левая волна. В этих вычислениях число Куранта было задано 0.9 для обеих схем, и Vp = 2 km/s, р = 2.2 g/cc, Ах =0.002 km (2 m).

В моделях реализованы точечные и протяженные (линейные) источники начального возмущения. Реализована возможность гибко настраивать параметры сигнала.

В этой же главе описывается программный модуль для получения и записи искусственных сейсмограмм. Модуль позволяет получать искусственные сейсмограммы, полученные в модели, с реальными

сейсмическими данными, полученными в «полевых» лабораториях, для проверки предположений о структуре земной коры. Получены сейсмограммы для двухслойной модели среды с малой неоднородностью.

Еще большее повышение скорости расчета модели достигнуто за счет оптимизации исходных кодов несколькими путями:

уменьшением числа элементарных операций, где это было возможно,

выявлением и избежанием повторных вычислений величин, полученных ранее.

выявлением нулевых элементов матриц и нулевых собственных чисел для упрощения вычислений с их участием

При численном решении систем уравнений существенным является вопрос скорости получения результата. При использовании явных численных методов ограничение на число Куранта, обеспечивающего сходимость, ведет к ограничению на шаг по времени, что вынуждает делать большое количество мелких шагов. Это не позволяет существенно уменьшить вычислительное время. Если же используется неявная методика, то ограничения на шаг по времени не такие строгие, как для явных методов, но для продвижения физической системы на один шаг по времени необходимо проделать несколько, а то и несколько десятков итераций для обеспечения сходимости и заданной точности. Вопрос о преимуществах и недостатках того или

иного подхода сильно зависит от характера решаемой задачи и от архитектуры вычислительной системы.

Обработка сейсмических сигналов в целом, и, в частности,
численное моделирование прямой задачи распространения

сейсмических сигналов являются яркими примерами таких проблем, которые требуют суперкомпьютерных вычислений. Время диктует необходимость перехода от двумерных постановок к трехмерным. Развитие суперкомпьютеров позволяет достаточно успешно решать задачи в 3-х мерной постановке уже сегодня. Проведенная универсализация кодов позволяет быстро настраивать солверы для решения задач в пространствах с любым числом измерений от 1 до 3.

В работе описываются особенности численного моделирования задачи распространения упругих волн с применением вычислительных комплексов с параллельной архитектурой.

В третьей главе приводится информация о классических случаях распространения волн в упругой неоднородной среде, такие как поведение волны при пересечении границы раздела двух сред, полное отражение волны (падение под углом полного отражения).

Ряд тестовых расчетов выполнен для двухслойной геометрии с различными свойствами слоев, а также для геометрии типа «уголок». Для иллюстрации явления дифракции проведен расчет распространения волн в двухслойной среде, содержащей облако микронеоднородностей.

Основная часть третьей главы посвящена применению построенной математической модели для изучения акустических свойств пористого объекта (модели нефтяного коллектора) в прозрачной с волновой точки зрения среде. Описано устройство нефтяного коллектора.

Приведены результаты расчета рассеяния плоской волны на пористом объекте эллиптической формы. Приведены картины волнового воля для вертикальной компоненты скорости смещения среды.

На защиту выносятся:

сеточно-характеристическое обобщение на систему линейных уравнений гибридной схемы Белоцерковского-Гущина-Коньшина-Щенникова применительно к системе волновых уравнений в приближении малых деформаций в двухмерном и трехмерном случае (упругий случай).

созданный на основании этой методики программный комплекс для численного моделирования распространения волн в неоднородной среде в 2-х и 3-х мерных геометриях, а также параллельная версия 3-х мерного программного кода.

Численное исследование пакета рассеянных звуковых волн, формируемого при взаимодействии звуковой волны с пористой областью, перераспределение энергии по спектру относительно спектра падающей волны.

Предложение по использованию в качестве поисковых признаков коллекторских (пористых) зон энергетических аномалий и сдвигов энергии по спектру, выявленных в результатах моделирования после миграционного преобразования и процедуры специальной обработки полученных сейсмических данных.

Предположение о генерации дифрагированных волн от групп (совокупностей) микронеоднородностей, эффект взаимодействия которых с падающей волной сходен по ряду признаков с эффектом взаимодействия волны с крупным объектом, размеры которого порядка эффективного размера группы микронеоднородностей.

В силу того, что данная работа включает несколько разделов современной науки, логично данный обзор разделить на четыре части. К первой следует отнести работы, посвященные методам численного моделирования, теории построения разностных схем, анализу свойств численных методик. Во второй части представлены работы, затрагивающие физику явления распространения звуковых волн в среде, а также работы, описывающие основополагающие уравнения данного явления. Третий раздел посвящен работам в области геофизики, сейсмологии и сейсморазведки. В последний раздел вошли работы по основам параллельных вычислений и использованию их для пространственного математического моделирования.

Методы численного моделирования получили значительное развитие во второй половине двадцатого века не только благодаря развитию вычислительных систем, но и благодаря острой потребности рассчитывать явления аэро- газо- динамики и физических задач, связанных с ядерным оружием. В связи с этим историческим обстоятельством львиная доля всех методов развивается и неразрывно связана с задачами динамики жидкости и газа, процессов горения и плазмы [1]. Вместе с тем такая историческая «специализация» численных методов вовсе не ограничивает область их применения только вышеупомянутыми классами задач. Разработанные методики для решения систем уравнений газовой динамики с успехом могут применяться для решения других задач, процессы в которых описываются системой уравнений в частных производных гиперболического типа. Характерным примером таких задач является прямая задача распространения звуковых волн в упругой среде.

Работы по численному моделированию появились еще до возникновения компьютеров. Первая статья, посвященная итерационным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных была опубликована Л. Ричардсон в 1910 г. [2]. С помощью предложенных им методик был проведен первый практический расчет - расчет напряжений в каменной дамбе. Кроме того, Ричардсон разработал сами методы, получил оценки сходимости, изучил задание граничных условий. Эта статья послужила отправной точкой исследований по численному моделированию. В 1923 г. Филлипс и Винер [3] получили первое строгое доказательство

сходимости метода Либмана, в 1918 г. усовершенствовавшего метод Ричардсона для решения эллиптических уравнений [4]. Курант, Фридрихе и Леви [5] в 1928 году опубликовали основополагающую теоретическую работу по конечно-разностным методам, определившую дальнейшее развитие этих методов. В своей работе авторы исследовали вопросы сходимости решений разностных уравнений к решениям дифференциальных, устойчивость решения.

В 1950 г. Чарней, Фйортофт и фон Нейман провели расчеты крупномасштабных метеорологических задач, результаты которых были опубликованы в соответствующей работе [6]. В той же статье опубликованы результаты работ фон Неймана, проведенные в Лос-Аламосской лаборатории во время второй мировой войны. В числе прочих результатов, был получен критерий устойчивости для параболических задач.

Для гиперболических систем уравнений создано большое количество разнообразных методов решения [1, 8, 9]. Наряду с прямыми аналитическими методами нахождения решения используются точные методы, использующие разложение в ряд Фурье и другие функциональные ряды, метод разделения переменных в многомерных задачах, также используется метод потенциалов, представляющий решение в виде интеграла, зависящего от параметра. Однако, они дают решение в удовлетворительном виде только для ограниченного количества задач, не включающего наиболее практически ценные.

Среди численных методов решения можно выделить несколько отдельных групп:

характеристические методы [10], в которых аппроксимация системы осуществляется на характеристической сетке, строящейся в процессе счета;

наиболее многочисленный класс конечно-разностных методов [11, 12], включающий как эйлеровы, так и лагранжевы методы [13];

сеточно-характеристические методы [14], в которых расчет осуществляется в характеристических переменных на обычной нехарактеристической сетке (эйлеровой или лагранжевой);

метод конечных элементов [15], в котором ищется приближение точного решения в определенном функциональном пространстве;

полуаналитические методы, такие как: метод прямых [16], в котором сетка строится только для пространственных переменных, а временная переменная остается непрерывной, таким образом исходные уравнения аппроксимируются большой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, обобщающий его метод интегральных соотношений [17], методы динамики вихрей [18], в которых вихревое поле моделируется большим количеством дискретных вихревых частиц, а исходные уравнения аппроксимируются ОДУ, описывающими положения дискретных вихрей;

методы квазичастиц, в которых определенные объемы сплошной среды моделируются конечным числом квазичастиц, такие как:

метод частиц в ячейках [19], метод крупных частиц [20], метод сеток и частиц [21], метод маркеров в ячейке [22]; во всех данных методах имеется сетка ячеек, через которую осуществляют движение различного рода квазичастицы;

- статистические методы, такие как, методы типа Монте-Карло [23] или статистический метод частиц в ячейках [24].

Одной из базовых конечно-разностных схем является схема Куранта-Изаксона-Риса [25], являющаяся также схемой бегущего счета, вследствие того, что при расчете по ней вычисления бегут от одной границы к другой, что удобно для решения смешанной задачи Коши.

Фон Нейман и Рихтмайер [26] в схеме типа "крест" впервые предложили метод использования псевдовязкости для обеспечения устойчивости решения путем сглаживания контактных разрьюов. Лаке в 1954 [27] предложил центрально-разностную схему, получившую имя Лакса-Фридрихса. В этой работе Лаке также впервые использовал консервативную форму для записи уравнений гидродинамики. В широко известной схеме Лакса-Вендрофа [28] вязкость аппроксимации не приводит к размазыванию контактного разрыва и обеспечивает второй порядок аппроксимации. Рихтмайер [29] сформулировал более экономичную двухшаговую схему, приводящую к той же схеме Лакса-Вендрофа, на первом шаге которой используется схема Лакса-Фридрихса, а на втором - схема "чехарда". Мак-Кормак [30] предложил двухшаговыи метод для квазилинейного уравнения, на разных шагах которого вычисляются разности вперед и назад. Метод Мак-Кормака

совпадает с методом Лакса-Вендрофа на линейных уравнениях, а для нелинейных - дает лучшие результаты по сравнению с методом Лакса-Вендрофа на движущихся разрывах.

Одновременно развивался и математический аппарат исследования численных методов. Фон Нейманом, Рихтмайером, а также Лаксом в 50-х годах [26, 31, 32] были исследованы вопросы устойчивости разностных схем. Ими был получен фундаментальный критерий устойчивости фон Неймана [33]. Работа Годунова [34] ответила на главный вопрос о несуществовании линейной монотонной схемы для уравнения переноса выше первого порядка аппроксимации и дала направление исследований для построения монотонных схем. В той же работе была сформулирована монотонная схема Годунова, имеющая первый порядок, на каждом шагу которой в каждых соседних ячейках точно решалась задача Римана о распаде разрыва. Годунов также изучал класс схем, обладающих свойством сохранения энтропии (введенным им же) [35, 36]. Ошер описал общий критерий сохранения энтропии для конечно-разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами [37].

Вслед за работой Годунова, первым введшего аналитическое решение задачи Римана в кончено-разностный метод, было разработано множество методов, базирующихся на точном или приближенном решении задачи Римана. Мак-Намара [38] модифицировал метод Годунова, введя подвижную сетку, перестраивавшуюся под положение контактного разрыва. Схожий с методом Годунова метод для решения уравнения Бюргерса был предложен Глиммом [39], который также

решал задачу с кусочно-постоянным распределением на соседних ячейках точно, а затем использовал процедуру реконструкции решения. Еще до работ ван Лира Колган [40] предложил метод, использующий процедуру ограничения потоков, полученных с помощью метода Годунова В середине 70-х годов ван Лир публикует серию статей [41-45], в которых описывается техника создания монотонных схем путем построения или модификации существующих схем с помощью процедуры линейной реконструкции решения и ограничения потоков. В последней из этих статей [45] рассматривается известная схема второго порядка по пространству MUSCL, основанная на приближенном решении задачи Римана в Лагранжевых координатах. В этой схеме был также впервые реализован способ вычисления частичных разностей для системы уравнений. Методы, реализующие данный подход к вычислению разностей, получили в дальнейшем название методов MUSCL-типа, например, метод 4-го порядка, предложенный Ямамото и Дайгуджи [46].

В работе Магомедова и Холодова [47] изложен общий сеточно-характеристический подход для методов решения гиперболических систем уравнений. В этой работе была также предложена векторная схема для решения векторной задачи Римана, обобщающая схему Куранта-Изааксона-Рисса. Аналогичная запись была использована Роу [48, 49], однако здесь уже речь шла о методе второго порядка. Роу также предложил осреднение матриц Якоби, при котором решение задачи Римана для линеаризованного уравнения с осредненной

матрицей совпадает с решением нелинейного уравнения. Роу и Пайком было доказано [50], что такое осреднение единственно.

Альтернативный подход к методу Роу также на основе приближенного решения задачи Римана был предложен Ошером [51, 52]. Так в методе Энгквиста-Ошера [52] для вычисления потока использовалось интегральное осреднение матрицы Якоби. Методы Роу и Ошера базируются на представлении решения в виде суперпозиции дискретных волн, движущихся в прямом и обратном направлениях, поэтому он получил название метод с разностным расщеплением потоков.

Другой тип методов с векторным расщеплением потоков основывается на представлении решения в виде взаимодействующих псевдочастиц. Так, например, расщепление ван Лира [53] основано на Больцмановском распределении скоростей частиц, а расщепление Стигера-Уорминга [54] исходит из предположения, что половина частиц движется с одной характеристической скоростью, а другая половина - с другой скоростью.

Имеется несколько схожих подходов к построению монотонных схем. Так, Йи, Уорминг и Хартен [55] выделяют 4 принципа построения таких схем: гибридные схемы, подход ван Лира с использованием реконструкции решения для решения задачи Римана, подход Роу на основе метода расщепления потоков, подход Хартена для TVD методов с модификацией потоков. Первыми из них были получены и стали использоваться монотонные гибридные методы,

переключающиеся между линейными методами высокого порядка в области гладкости решения и методами первого порядка на разрывах. Среди них следует отметить гибридные методы Хартена [56], Хартена и Цваса [57], ван Лира [41] и Бима-Уорминга [58]. Хотя метод коррекции потоков FCT Бориса и Бука [59, 60, 61] первоначально не был отнесен к этому классу методов, было показано, что он может трактоваться как гибридный метод. Различные гибридные схемы строились и изучались Магомедовым и Холодовым с помощью подхода с использованием неопределенных коэффициентов и пространств схем [14]. В работе Белоцерковского, Гущина и Конынина [62] была предложена гибридная монотонная разностная схема второго порядка по времени и по пространству.

Развитие TVD схем связано с именем Хартена. TVD-свойство, т.е. свойство схем уменьшать полную вариацию функций, является более слабым требованием, чем монотонность. Однако за счет ослабления требований к схеме удается построить схемы более высокого порядка, тем не менее, не осциллирующие на разрывах решения. В работах [55, 63, 64] Хартен ввел класс TVD-схем и изучил их свойства, а также предложил известную TVD-схему Хартена второго порядка. Широко известен также метод энтропийной коррекции Хартена [65], применяемый во многих TVD-схемах. Было опубликовано много TVD-схем, в том числе и более высоких порядков. Среди них стоит упомянуть схему Чакраварти-Ошера [66], модифицированную впоследствии Ямамото и Дайгуджи [67]. Дальнейшее развитие этот подход получил в схемах ENO [68], UNO

[69]. Эти схемы также в общем случае не являются схемами типа TVD, так как не являются монотонными. Но, несмотря на более слабые требования, они не допускают нефизичных осцилляции решения.

При численном решении систем уравнений существенным является вопрос скорости получения результата. При использовании явных численных методов ограничение на число Куранта, обеспечивающего сходимость, ведет к ограничению на шаг по времени, что вынуждает делать большое количество мелких шагов. Это не позволяет существенно уменьшить вычислительное время. Если же используется неявная методика, то ограничения на шаг по времени не такие строгие, как для явных методов, но для продвижения физической системы на один шаг по времени необходимо проделать несколько, а то и несколько десятков итераций для обеспечения сходимости и заданной точности. Вопрос о преимуществах и недостатках того или иного подхода сильно зависит от характера решаемой задачи и от архитектуры вычислительной системы.

Вопросам теории механики сплошной среды и упругости посвящен ряд отечественных и зарубежных работ, среди которых стоит отметить [70-74]. Монография Седова [70] посвящена основам механики сплошной среды, включая информацию об упругости и деформации. «Теория упругости» [71] авторов Л.Д.Ландау Е.М.Лифшица из серии «Теоретическая физика» - одна из фундаментальных работ, наиболее полно систематизирующая и обобщающая теорию по вопросам физики деформации, упругости и пластичности.

В работе Кондаурова и Фортова [74] излагаются математические основы нелинейной теории сплошной среды, необходимые для феноменологического описания тепловых и механических процессов и явлений в конденсированных средах. Формулируются общие принципы построения определяющих уравнений, которые иллюстрируются на примере классических уравнений состояния. Также большое внимание уделено вопросы накопления поврежденности в однородных и пористых средах при различных нагрузках.

Теории упруговязкопластической среды с конечными деформациями посвящены работы Кондаурова [76, 77]. В работе Кондаурова, Конюхова, Ломова, Корытника, Иванова, Петрова [78] разработаны модели сплошной среды, которые достаточно хорошо отражают упруговязко-пластические свойства, основные особенности процессов накопления поврежденности и структурных превращений геоматериалов, с целью теоретического моделирования динамических явлений, вызванных интенсивной импульсной нагрузкой, либо динамической потерей устойчивости массива геоматериала. Авторами развит новый подход к описанию рассеянного разрушения начально-пористых и начально-трещиноватых сред, опирающийся на локальный баланс накопленной упругой энергии и эффективной поверхностной энергии ансамбля микродефектов.

Волновых явлений в слоистых упругих средах посвящены работы [79-81]. В работе Петрова [79] исследуются волновые и откольные явления, возникающие при импульсном нагружении слоистых упругопластических цилиндрических оболочек. Дифракция волны

сжатия на полости в двухслойном упругопластическом полупространстве в трехмерной геометрии, с использованием реологической модели на основе обобщенного закона Гука и уравнения Григоряна [82] для грунтовых сред исследована в работе Петрова и Тормасова [80]. В работе [81] рассматриваются одномерные и двумерные нестационарные задачи о действии ударных и других нестационарных нагрузок на деформируемые твердые среды многослойной структуры, изучаются волновые и откольные явления.

В работе Есипова и др. [83] были проведены теоретические и экспериментальные исследования нелинейных акустических свойств неоднородных вязкоупругих сред. Рассмотрено явление локализации акустической энергии при распространении упругого импульса конечной амплитуды через среду, обладающую хаотической и фрактальной структурой различной плотности. В результате компьютерного моделирования определены переходные частотные характеристики для таких сред, а также зависимости размеров фрактальных кластеров и частот перехода от плотности среды.

Статистическим явлениям в физике, и, в частности, волновым явлениям в случайно-неоднородных средах посвящены работы Кляцкина, из которых важно упомянуть обзорную работу, посвященную описанию процесса распространения электромагнитных волн в случайных средах с точки зрения статистической математической физики [84]. В монографии [85] того же автора на основе функционального подхода излагается теория стохастических уравнений (обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в

частных производных, краевые задачи и интегральные уравнения). Развитый подход позволяет получить точное решение стохастических задач для ряда моделей флуктуирующих параметров (телеграфный, обобщенный телеграфный процессы, марковские процессы с конечным числом состояний, гауссовский марковский процесс и функции от этих процессов). В качестве приложений рассматриваются вопросы распространения волн в слоистой случайно-неоднородной среде.

Сейсмическая разведка в настоящий момент занимает одно из ведущих мест при поиске и разведке месторождений нефти, газа и других полезных ископаемых наряду с другими методами (например, магнитными), применяемыми в геофизической разведке. Сейсморазведка - это совокупность методов исследований геологического строения земной коры, основанных на изучении распространения в ней упругих волн, возбужденных искусственно [86-89]. Вызванные ударом или взрывом, сейсмические волны распространяются от источника на значительную глубину, где претерпевают преломление и отражение, подобно звуковым и световым волнам, после чего частично возвращаются к поверхности земли, где колебания регистрируются специальной аппаратурой. Анализируя зарегистрированный сигнал можно определить глубину и форму тех геологических границ, на которых произошло преломление и отражение волны, а также судить о составе пород, через которые прошла волна на своем пути. Сейсморазведка позволяет с высокой точностью определить углы наклона геологических слоев осадочной толщи даже при большой глубине их залегания. В связи с этим

сейсмические методы находят широкое применение при решении различных структурно-геологических задач, особенно применительно к геологии нефти и газа.

Сейсморазведка как инженерно-научное направление в геологии существует далеко не один десяток лет. Методики, используемые для обработки и анализа сейсмических данных, постоянно развиваются [89-92]. Однако, надо понимать, что изначально обратная задача сейсморазведки математически некорректна, так как не выполняется требование существования единственности обратного решения (восстановления геометрии и свойств среды по пришедшим к поверхности отраженным волнам). Для решения таких некорректных задач используются априорные оценки, данные бурения и другие дополнительные данные.

Несмотря на видимый прогресс в методах сейсморазведки, большинство из них до сих пор базируются на подходах, появившихся еще в докомпьютерную эру, ориентированных в основном на аналитические выкладки на бумаге, применение логарифмической линейки или калькулятора. Другими словами, несмотря на то, что эти методики реализовываются на различных вычислительных комплексах, они несут в себе атавизмы прошлого, которые неизменно присутствуют в программных реализациях таких алгоритмов для все более современных вычислительных комплексов. Под такими атавизмами надо понимать многие упрощения и допущения, которые было необходимо ввести, когда расчеты велись практически вручную [86]. Но подходы, которые хороши для расчетов с помощью бумаги и

калькулятора, как правило, очень далеки от оптимума при переложении их на современные вычислительные комплексы без учета особенностей вычислительных систем.

В настоящий момент успешно развиваются системы распознавания образов, искусственного интеллекта, нейронные сети, генетические алгоритмы, системы принятия решений, алгоритмы решения некорректных задач или задач с недостатком начальных данных. Успешное развитие вышеупомянутых технологий было бы невозможно без учета особенностей архитектуры современных вычислительных систем при построении и реализации алгоритмов, составляющих эти технологии. Это актуально для всех без исключения программных комплексов, включая различные геофизические и сейсмические системы.

Одним из тонких мест при моделировании распространения упругих волн является корректная реализация источника начальных возмущений. Например, из-за дискретности модельного пространства точечный источник будет аппроксимироваться конечным многоугольником (сеточной ячейкой), и уже будет иметь определенные размеры. То же касается толщины протяженных линейных источников. Кроме того, моделируемые источники должны сохранять заданную мощность при изменении шага пространственной сетки. Так называемые дипольные и монопольные источники тоже ведут себя различным образом, излучая волны в окружающее пространство. Подробному изучению вопросов, связанных с источниками сейсмического возмущения посвящен цикл работ Рандала С.Дж. и

других в 1989-1991 годах, из которых стоит отметить работу [93], посвященную изучению дипольных источников в жидкости с помощью экспериментов и численного моделирования.

Вопросами моделирования распространения сейсмических волн занималась группа индийских исследователей во главе с доктором Сухасом Пхадке (Suhas Phadke) из Центра Разработки Передовых Вычислительных Технологий г. Пуна, Индия. В их работе [94] описываются модели, решающие задачи распространения волн в упругих средах на параллельных вычислительных комплексах. Для решения гиперболической системы уравнений в 2-мерном пространстве применен явный численный метод, основанный на технике «предиктор-корректор».

Еще один научный аспект, затрагиваемый в данной работе, касается реологии геологических пород, и, в частности, физики пористых нефтяных коллекторов (вместилищ нефти) и их волновых свойств. Теоретическим основам реологии геоматериалов посвящена книга Кондаурова и Никитинаv [95]. В книге Кошляка описаны современные представления о строении нефтяных и газовых коллекторов в гранитных фундаментах, их свойствах и существующих методах обнаружения [96].

Развитие методов численного моделирования неразрывно связано
с развитием компьютерной техники. Для решения сложных задач
требуются большие объемы памяти и повышаются требования к
быстродействию. Единственным способом увеличить

производительность вычислительной системы в рамках существующей элементной базы является объединение нескольких вычислительных систем в одну. Такое объединение на уровне процессоров позволяет одновременно рассчитывать части одной задачи на разных вычислительных узлах. Различают вычислительные системы с общей памятью и распределенной. Последние - наиболее распространенный тип параллельных вычислительных систем, являющийся самым простым и недорогим решением с одной стороны, и накладывающий ряд ограничений на пути распараллеливания существующих последовательных алгоритмов. В первую очередь такие ограничения связаны с зависимостью данных, вычисляемых на каждом узле от данных, вычисляемых на соседних. При использовании для решения системы уравнения явных численных методик чаще всего используется метод разбиения расчетной области на подобласти, эволюция физических процессов на каждой из которых рассчитывается отдельным узлом, при этом соседние узлы обмениваются информацией, получая недостающую ее часть. Неявные численные методики параллелятся с большим трудом, при этом часто используются специфические особенности решаемой задачи, такие как геометрия расчетной области, физические процессы и т.д.

Так, наиболее мощный на сегодняшний день японский суперкомпьютер NEC Earth-Simulator (по данным списка Тор 500] на ноябрь 2002 г.) представляет собой кластер, составленный из 640 узлов, каждый из которых - 8-процессорный мультипроцессор с общей памятью на основе векторных процессоров. Все основные типы

параллельных архитектур: векторно-конвейерные процессоры, SMP и МРР/кластеры находят достойное применение в данном суперкомпьютере-победителе.

В настоящее время большинство параллельных программ реализуется с использованием тех или иных реализаций МРІ. Более высокоуровневые параллельные языки и программные среды, такие как mpC, DVM, также часто реализуются с использованием МРІ, добавляя свой слой программного обеспечения, реализующего параллельные конструкции языка.

Параллельные вычисления, как это ни странно, были открыты еще в докомпьютерную эпоху. Пионером в параллельной обработке потоков данных был академик Самарский, выполнявший в начале 50-х годов расчеты, необходимые для моделирования ядерных взрывов. Непосредственно расчеты совершали несколько десятков человек с арифмометрами, которые передавали данные друг другу просто на словах. Таким образом, в частности, была рассчитана эволюция взрывной волны. Это, можно сказать, и была первая параллельная система, в которой к тому же была реализована модель передачи сообщений.

С параллельным программированием связано много важных как теоретических, так и чисто практических вопросов. Как практическим, так и некоторым теоретическим аспектам программирования для параллельных компьютеров уделяется внимание в обзоре [97]. В центре же этой области науки находится построение и анализ алгоритмов

распараллеливания. Как уже было сказано, не любой последовательный алгоритм можно распараллелить, часто необходимо строить новый параллельный алгоритм, эквивалентный существующему. Анализу алгоритмов на предмет их возможного распараллеливания посвящены работы Воеводина [98]. Параллельные алгоритмы для решения задач линейной алгебры наиболее широко освещены в книге Ортега [99]. Параллельным методам решения алгебраических задач посвящены также книги Саада [100]. Данные методы также используются и при решении уравнений в частных производных, поскольку при их решении задача часто сводится к линейным разностным уравнениям. Параллельные алгоритмы в приложении к задачам численной гидродинамики рассматривались Ван дер Ворстом в сборнике [101]. Основной метод распараллеливания, используемый для задач математической физики и, в частности, численной гидродинамики -декомпозиция расчетной области [102, 103] на подобласти, обрабатываемые различными процессорами. Такой метод удобен при распараллеливании программ для компьютеров с распределенной памятью, поскольку каждый процессор может производить вычисления в своей подобласти, находящейся в своей локальной памяти. Параллельные алгоритмы в применении к гиперболическим задачам продолжают рассматриваться в литературе и в последние годы, например, применительно к гидродинамическим задачам [107] и волновому моделированию в геофизике [94].

Настоящая работа является попыткой объединить достаточно консервативные системы обработки и интерпретации данных,

используемые сейсмологами, с современными достижениями в области компьютерного математического моделирования.

Материалы, отражающие содержание диссертационной работы, опубликованы в работах [105-113], и докладывались на семинарах Института автоматизации проектирования РАН, а также на: VII и ИХ Российско-Японских симпозиумах по вычислительной гидродинамике (МГУ, г. Москва, Россия, 2000 г.; Sendai, Japan, 2003); XLIV научной конференции МФТИ, 2001 г.; Международной летней школы молодых ученых по математическому моделированию, Ростов-на- Дону, 2002 г.; Научно-практической конференции «Гальперинские чтения», Москва, 2002 г.; Российско-Индийская международная конференция по суперкомпьютерным вычислениям в науке и технике, Москва, 2003 г.; Российско-Японском семинаре по турбулентности и неустойчивостям, Токио, 2003 г.; Российско-Японском международном симпозиуме "Russia-Japan International Workshop on Turbulence and Instabilities", Москва, 21-24 сентября, 2004 г.

Автор выражает глубокую благодарность за постоянное внимание, поддержку и совместную научную работу своим научным руководителям: академику Олегу Михайловичу Белоцерковскому и к.ф.-м.н. Алексею Михайловичу Опарину, к.ф.-м.н. Андрею Викторовичу Конюхову и д.ф.-м.н. Валерию Михайловичу Чечеткину за ценные обсуждения и полезные советы, к.ф.-м.н. Крагинскому Леониду Марковичу за тесное научное сотрудничество, к.ф.-м.н. Фортовой Светлане Владимировне, н.с. Марине Сергеевне Белоцерковской за помощь в подготовке статей, с.н.с. Павлюковой

Елене Раилевне за помощь в решении организационных вопросов, а также всему коллективу ИАП РАН за доброжелательное отношение и содействие в работе.

Подобные работы
Перегудин Сергей Иванович
Математическое моделирование процесса распространения волн в жидких и сыпучих средах
Хисматуллин Рустам Канифянович
Моделирование распространения упругих волн в микросейсмически активных насыщенных пористых средах
Гурьянов Вадим Владимирович
Математические модели распространения плоских сейсмических волн в нелинейных упругих и флюидо-насыщенных средах
Ануфриенко Сергей Евгеньевич
Моделирование проведения волн возбуждения по средам, элементы которых описываются уравнениями с запаздыванием
Лазарева Галина Геннадьевна
Численное моделирование усиления ударных волн в пузырьковых средах
Сузан Дмитрий Валерьевич
Математическое моделирование распространения загрязнений в воздушной среде
Волков Алексей Генрихович
Математическое моделирование распространения фемтосекундных лазерных импульсов в среде с нестационарной нелинейностью
Скрипов Дмитрий Константинович
Математическое моделирование некоторых задач распространения фемтосекундных лазерных импульсов в нелинейной среде
Шерменева Мария Александровна
Математическое моделирование распространения нелинейных волн на поверхности воды
Сумец Павел Петрович
Математическое моделирование лучевым методом распространения волн в трубопроводах с учетом их особенностей

© Научная электронная библиотека «Веда», 2003-2013.
info@lib.ua-ru.net